8. kapitola knihy Elegantní vesmír

Níže naleznete ukázkovou kapitolu z knihy. Tato verze neprošla definitivními redakčními úpravami. Obrázky lze zvětšit kliknutím. 4. kapitola je zde. 5. kapitola je zde. 11. kapitola je zde. 15. kapitola je zde. TOPlist

Více rozměrů, než oko spatří

Albert Einstein, Santa Barbara 1933
Polský překlad kapitoly je zde...

Einstein svou speciální a poté obecnou teorií relativity vyřešil dva z klíčových konfliktů vědy posledních sta let. Každé z těchto rozuzlení naprosto převrátilo naše chápání prostoru a času, byť tento jejich výsledek nebyl zřetelný od počátku; Einsteina vedly k bádání jiné pohnutky. Teorie strun řeší třetí velký konflikt ve vědě posledního století způsobem, který by asi i Einstein považoval za pozoruhodný, neboť od nás požaduje další radikální revizi našich představ o prostoru a čase. Teorie strun otřásá základy moderní fyziky tak důkladně, že dokonce i otázka počtu rozměrů našeho světa - cosi tak základního, že bychom si ani nedovolili o správné odpovědi pochybovat - je zodpovězena dramaticky odlišným, ale přesto přesvědčivým způsobem.

Iluze známého

Zkušenost dodává intuici informace. Dělá však ještě více. Vymezuje rámec, v němž analyzujeme a interpretujeme své vjemy. Nepochybně třeba očekáváme, že "dítě divočiny", vychované smečkou vlků, bude interpretovat svět z pohledu podstatně odlišného od našeho. I méně extrémní srovnání, například dvou lidí, kteří vyrostli v prostředí různých kulturních tradic, může posloužit jako důkaz toho, že naše zkušenosti do jisté míry určují způsob, jak si události vysvětlujeme.

Určité věci ale přece prožíváme všichni. A právě víru a očekávání, pramenící z těchto univerzálních zážitků, lze mnohdy nejobtížněji rozpoznat a kriticky rozebrat. Doložíme to jednoduchým, ale přiléhavým příkladem. Přestanete-li číst tuto knihu a zvednete se, můžete se pohybovat ve třech nezávislých směrech - tedy třemi nezávislými rozměry prostoru. Jakákoli vaše dráha - nehledě na její složitost - je kombinací pohybu "levo-pravým rozměrem", "předo-zadním rozměrem" a "rozměrem shora dolů". Každý váš krok v sobě implicitně zahrnuje podvědomé rozhodnutí o tom, jak se pohnete v každém z těchto tří směrů.

Ekvivalentní tvrzení, s nímž jsme se setkali při probírání speciální relativity, říká, že každé místo ve vesmíru lze specifikovat třemi údaji - kde se nachází ve vztahu ke třem rozměrům prostoru. Řečeno obvyklým jazykem, můžete určit adresu ve městě zadáním ulice (pozice v "levo-pravém rozměru"), kolmé ulice nebo avenue (umístění v "předo-zadním rozměru") a čísla patra (poloha v "rozměru shora dolů"). Einsteinova práce nás vybízí k modernějšímu pohledu, podle něhož je čas další dimenzí ("rozměrem od minulosti k budoucnosti"), máme tedy dohromady čtyři rozměry, z toho tři prostorové a jeden časový. Události ve vesmíru specifikujete údaji o tom, kdy a kde nastaly. Tahle vlastnost vesmíru je natolik základní, do sebe zapadající a naše myšlení dokonale prostupující, že se opravdu zdá být nezpochybnitelná. V roce 1919 měl ale nepříliš známý polský matematik Theodor Kaluza z univerzity v Královci (Königsbergu) dost drzosti na to, aby tuhle samozřejmost zpochybnil - přišel s myšlenkou, že vesmír možná nemá tři prostorové rozměry, ale více. Hloupě znějící nápady jsou většinou opravdu hloupé. Někdy však zatřesou se základy vědy. Přestože se Kaluzova myšlenka musela chvíli uhlazovat, nakonec přinesla revoluci do naší formulace přírodních zákonů. Dodnes se vzpamatováváme ze šoku z Kaluzovy úžasné předtuchy.

Kaluzův nápad a Kleinovo upřesnění

Nápad, že náš vesmír má možná více než tři prostorové rozměry, jistě může znít pošetile, fantasticky, podivně či mysticky. Přesto je konkrétní a zcela přijatelný. Abychom to pochopili, odvraťme na chvíli svůj zrak od vesmíru jako celku k něčemu přízemnějšímu, konkrétně k dlouhé a tenké zahradní hadici na zalévání.
Obrázek 8.1 (a) Zahradní hadice pozorovaná z velké vzdálenosti vypadá jako jednorozměrný objekt. (b) Pokud vše zvětšíme, spatříme náhle druhý rozměr - ve tvaru kružnice ovíjející hadici.
Představte si, že stometrovou zahradní hadici natáhnete z jedné strany kaňonu na druhou a celou scenerii sledujete z půlkilometrové vzdálenosti, jako na obrázku 8.1(a). Z takové vzdálenosti snadno zaznamenáte dlouhou, ve vodorovném směru nataženou hadici, ale pokud právě netrpíte bystrozrakostí, tloušťku hadice rozeznáte stěží. Vzhledem k vaší velké vzdálenosti od hadice byste si pomysleli, že mravenec donucený žít na hadici má jen jeden rozměr, v němž se může procházet: levo-pravý rozměr podél hadice. Když se vás někdo zeptá, kde byl mravenec v daný okamžik, odpovíte mu jen jedním údajem: vzdáleností mravence od levého (či pravého) konce hadice. Tím vším chceme říct jen to, že z půlkilometrové vzdálenosti vypadá dlouhý kus hadice jako jednorozměrný objekt. Ve skutečném světě hadice tloušťku. Z půlkilometrové vzdálenosti ji sotva uvidíte očima, ale dalekohledem můžete obvod hadice pozorovat přímo, jak ukazuje obrázek 8.1(b). V takto zvětšeném pohledu je zřejmé, že se mravenec ve skutečnosti může pohybovat ve dvou nezávislých rozměrech: v už dobře známém levo-pravém rozměru po délce hadice, ale také v "rozměru ve/proti směru pohybu hodinových ručiček", tedy kolem kruhového průřezu hadice. Začínáte chápat, že k určení polohy malého mravenečka musíte zadat dvě čísla: jak daleko je od konce hadice a kde je na kružnici ovíjející hadici. To je odrazem faktu, že je povrch hadice dvojrozměrný. 1

Mezi těmito dvěma rozměry je nicméně jasný rozdíl. Rozměr podél hadice je dlouhý a lehce viditelný. Rozměr ovíjející obvod hadice je krátký, "svinutý" a hůře viditelný. Abychom si existenci kruhového rozměru uvědomili, museli jsme hadici zkoumat s výrazně lepším rozlišením.

Zmíněný příklad ilustruje důležitou vlastnost prostorových dimenzí. To, že se rozdělují do dvou skupin. Mohou být buď velké, rozlehlé, a proto přímo patrné, nebo naopak malé, svinuté a mnohem hůře pozorovatelné. Samozřejmě že v tomto příkladě jsme se nemuseli předřít, abychom "svinutou" dimenzi ovíjející tloušťku hadice odhalili. Stačilo si vzít na pomoc dalekohled. Kdyby ale hadice byla tenčí - jako vlas nebo kapilára -, svinutou dimenzi bychom mohli odhalit jen s velkým úsilím.

Kaluza zaslal v roce 1919 Einsteinovi svůj článek, v němž vyrukoval s ohromujícím návrhem. Prohlásil totiž, že prostorová geometrie vesmíru by mohla mít více než tři rozměry nám všem známé. Odůvodněním tohoto radikálního tvrzení byl, jak za chvíli vysvětlíme, Kaluzův postřeh, že dodatečná dimenze poskytuje elegantní a přesvědčivý rámec, v němž lze Einsteinovu obecnou relativitu a Maxwellovu elektromagnetickou teorii vetkat do jediné a sjednocené pojmové struktury. Okamžitě se vnucuje otázka, jak jde tento návrh dohromady s očividnou skutečností, že vidíme právě tři rozměry prostoru.

Odpověď, kterou Kaluza tiše předpokládal mezi řádky a kterou jasně artikuloval a upřesnil švédský matematik Oskar Klein v roce 1926, stojí a padá s tvrzením, že prostorová geometrie našeho vesmíru může mít jak velké, tak i svinuté rozměry. To znamená, že právě jako dimenze ve směru délky hadice, má i náš vesmír velké, rozlehlé a lehce viditelné tři dimenze, jejichž existenci si každým okamžikem uvědomujeme. Ale analogicky s kruhovým obvodem zahradní hadice může mít vesmír i dodatečné dimenze, které jsou pevně svinuty do prostoru tak nepatrného, že se dosud skryly i před našimi nejdokonalejšími experimentálními aparaturami.

Obrázek 8.2 Povrch hadice je dvojrozměrný: jedna dlouhá podélná dimenze je znázorněna přímou šipkou, druhá ve směru obvodu, označená kruhovou šipkou, je krátká a svinutá.

Abychom získali jasnější představu o podstatě Kaluzova pozoruhodného návrhu, uvažujme o hadici ještě chvilku. Představte si, že na obvod hadice nakreslíme černou barvou poměrně hustou řadu kružnic. Zdálky vypadá hadice stále jako tenká jednorozměrná čára. S dalekohledem teď díky kresbě odhalíme svinutou dimenzi ještě snáze, uvidíme totiž motiv z obrázku 8.2. Zřetelně vidíme, že je povrch hadice dvojrozměrný, s jednou dimenzí velkou a téměř neomezenou a s druhou krátkou a kruhovou. Kaluza a Klein navrhli, že náš vesmír je podobný, kromě jedné malé kruhové dimenze má ale tři velké prostorové dimenze, dohromady tedy čtyři prostorové dimenze. Je obtížné nakreslit objekt s příliš mnoha rozměry. Abychom pomohli své představivosti, spokojme se s ilustrací na obrázku 8.3, obsahující dvě velké dimenze a jednu malou kruhovou dimenzi. Na obrázku zvětšujeme pohled na geometrii prostoru podobně, jako jsme zvětšovali povrch hadice.

Obrázek 8.3 Každá následující úroveň, stejně jako na obrázku 5.1, představuje obrovské zvětšení geometrie prostoru z úrovně předchozí. Náš vesmír může mít dodatečné dimenze (vidíme je na čtvrté úrovni zvětšení), pokud jsou svinuty do dostatečně malého prostoru; tím si vysvětlujeme, že jsme je dosud přímo nepozorovali.
Pozadí obrázku 8.3 znázorňuje běžně známou strukturu prostoru - obyčejný svět kolem nás - v běžných měřítkách, jako jsou metry, znázorněných stranou malého čtverečku ve čtvercové síti. Na každém následujícím obrázku se zaměříme na malou oblast obrázku předcházejícího; zvětšíme ji, aby se stala viditelnou. Zpočátku se nic zvláštního neděje, jak vidíme na několika prvních úrovních zvětšení. Když však postoupíme dále na své cestě za mikroskopickými vlastnostmi geometrie prostoru - na čtvrtou úroveň zvětšení v obrázku 8.3 -, spatříme náhle novou, do tvaru kružnice svinutou dimenzi, podobnou smyčkám niti v hustě tkaném kusu koberce. Kaluza a Klein navrhli, že dodatečný kruhový rozměr existuje na každém místě ve směru velkých dimenzí podobně, jako i hadice má kruhový obvod v každém bodě své délky. (V zájmu názornosti jsme kruhový rozměr zakreslili jen v některých, pravidelně rozestavěných bodech.) Obrázek 8.4 shrnuje Kaluzovu a Kleinovu představu o mikroskopické struktuře geometrie prostoru.

Podobnost s hadicí je zřejmá, třebaže jsou tu i důležité rozdíly. Za prvé, vesmír má tři velké, daleko se rozléhající prostorové rozměry (z nichž jsme nakreslili jen dva), kdežto hadice má velký rozměr jen jeden. Ještě důležitější rozdíl tkví v tom, že nyní mluvíme o prostorové geometrii vesmíru samotného, nikoli jen o nějakém předmětu uvnitř vesmíru, třeba naší hadici. Základní myšlenka je ale stejná. Pokud je dodatečná kruhově svinutá dimenze extrémně miniaturní, rozpoznat ji - stejně jako kruhový obvod hadice - je mnohem těžší než pozorovat zjevné, velké a rozlehlé rozměry. Je-li velikost dodatečné dimenze dostatečně malá, odhalit ji bude ve skutečnosti i nad síly našich nejmodernějších nástrojů na zvětšování. Nejdůležitější ale je, že dodatečná dimenze není pouhým oblým hrbolkem uvnitř běžných rozměrů, jak dvojrozměrná ilustrace mylně naznačuje. Kruhová dimenze je novým rozměrem, který existuje v každém bodě tří běžných rozlehlých rozměrů. Je to rozměr na zbylých třech nezávislý stejně, jako jsou rozměry shora dolů, zleva vpravo a zpředu dozadu nezávislé (a kolmé) navzájem. Dostatečně malý mraveneček by se mohl pohybovat ve všech čtyřech rozměrech a na určení jeho pozice bychom potřebovali čtyři údaje, kromě tří obvyklých ještě pozici v kruhové dimenzi; počítáme-li i čas, údajů je třeba pět, v každém případě o jeden více, než bychom normálně očekávali.

Obrázek 8.4 Čtvercová síť znázorňuje běžně známé "velké" dimenze, zatímco kružnice novou, malinkou a svinutou dimenzi. Právě jako smyčky vlákna v hustě utkaném koberci, i tyto kružnice existují v každém místě obvyklých rozměrů - jen kvůli názornosti jsme je zakreslili pouze do průsečíků ve čtvercové síti.

K našemu překvapení tedy zjišťujeme, že třebaže jsme si vědomi existence jen tří rozměrů prostoru, ukazuje Kaluzovo a Kleinovo uvažování, že tím není vyloučena existence dodatečných svinutých rozměrů, jsou-li dostatečně malé. Vesmír může mít klidně více rozměrů, než kolik jich můžeme spatřit očima.

Jak malé musí být? Nejmodernější technické vybavení dokáže rozpoznat struktury velké miliardtinu miliardtiny metru. Menší svinuté dimenze sotva můžeme pozorovat. V roce 1926 zkombinoval Klein původní Kaluzův nápad s několika myšlenkami z právě se rodící kvantové mechaniky. Jeho výpočty naznačily, že dodatečná kruhová dimenze by mohla mít velikost přibližně jedné Planckovy délky, což je daleko za rozlišovací schopností dnešních přístrojů. Od té doby fyzici nazývají možnost dodatečných drobných prostorových rozměrů Kaluzovou -Kleinovou teorií.2

Procházky po zahradní hadici

Hmatatelný příklad se zahradní hadicí a ilustrace na obrázku 8.3 měly za cíl vám přiblížit, jak je možné, že náš vesmír má dodatečné prostorové rozměry. Ale dokonce i pro vědce v oboru je dosti obtížné si vesmír s více než třemi rozměry představit. Proto také fyzici často svou intuici vybrušují přemítáním o tom, jak by vypadal život, kdybychom obývali pomyslný méněrozměrný vesmír - následují tak okouzlující klasickou popularizační knihu Edwina Abbotta Flatland (Plochosvět)3 z roku 1884 - díky čemuž si postupně uvědomují, že má vesmír více rozměrů, než jsme si přímo vědomi. Zkuste si představit dvojrozměrný vesmír ve tvaru zahradní hadice. Měli byste se přitom vzdát perspektivy "vnějšího pozorovatele", který se na hadici dívá jako na objekt uvnitř našeho vesmíru. Místo toho musíte opustit svět, jak ho znáte, a vstoupit do nového hadicového vesmíru, v němž není nic jiného než povrch velmi dlouhé hadice (představte si nekonečně dlouhou hadici). Navíc se musíte vžít do úlohy mravenečka, který si v hadicovém vesmíru spokojeně žije.

Tohle jste zvládli lehce, zkusme tedy ještě něco extrémnějšího. Představte si, že kruhový rozměr hadicového vesmíru je velmi krátký - dokonce tak krátký, že ani vy, ani vaši spoluobyvatelé hadicového vesmíru - zvaní Hadičané - si jeho existenci neuvědomujete. Místo toho vy i s ostatními Hadičany věříte, že na jednu věc v životě se můžete spolehnout - že totiž váš vesmír má jeden rozměr. Je snad něco nad slunce jasnějšího? (Od doby objevů mravence Einsteina Hadičané s oblibou říkají, že jejich vesmír má jeden prostorový a jeden časový rozměr.) Tahle vlastnost vesmíru je pro Hadičany natolik očividná, že svému domovu říkají Lajnistán, aby zdůraznili jeho jednorozměrnost.

Život v Lajnistánu se od života v České republice značně odlišuje. Vaše tchyně by se se svým tělem kupříkladu do Lajnistánu nevešla. Přes veškeré úsilí, s jakým absolvuje odtučňovací kúru, se své trojrozměrnosti nezbaví - neustále má výšku, šířku (zleva doprava) i tloušťku (zezadu dopředu). V Lajnistánu na takové výstřední tvary není místo. Pamatujte, že pokud si stále představujete Lajnistán jako vláknitý objekt v našem vesmíru, měli byste se od této představy oprostit a přemýšlet o této zemi spíše jako o vesmíru - tedy o všem, co existuje. V případě žádosti o azyl v Lajnistánu by žadatel musel dokázat, že se tam vejde. Představte si to. Ani když si na sebe vezme tělo mravence, stále se tam nevejde. Svoje mravenčí tělo musí stlačit do tvaru žížaly a ještě mnohem více, aby se zbavil jakékoli tloušťky. Aby se dostal do Lajnistánu, musí se z něj stát tvor, který má pouze délku.

Představte si, že jste obyvatelem Lajnistánu a máte oko na obou koncích těla. Lidské oko se může otáčet a hledět do všech tří dimenzí, oči Lajňanů jsou ale odsouzeny hledět navždy jenom do směru jednoho. A není to způsobeno anatomickými omezeními vašeho nového těla. Spolu s ostatními Lajňany si spíše uvědomujete, že v důsledku toho, že Lajnistán má jeden jediný rozměr, není jednoduše kam koukat jinam. Dopředu a dozadu - to jsou jediné směry ve vaší nové domovině.

Když se zamyslíte nad životními radostmi Lajňanů, moc jich nenajdete. Pomyslete třeba na Lajňanku, která je na jedné straně od vás. Uvidíte jí do jednoho oka - toho k vám přivráceného -, ale na rozdíl od lidských očí vypadá to její jako jeden bod. Oči Lajňanek nemají žádné rysy a nevyjadřují žádné emoce - na to v Lajnistánu jednoduše není místo. Hledět do bodového oka vaší sousedky navíc musíte napořád. Pokud byste chtěl navštívit končiny dále za ní (nebo pohledět do jejího druhého oka), byl byste zklamán. Nelze ji obejít. Lajňanka zcela "blokuje silnici" a v Lajnistánu není žádný prostor, kterým by šlo projít kolem ní. Pořadí Lajňanů, rozestavěných podél Lajnistánu, je pevné a neměnné. Smutný život.

Několik tisíc let po zjevení Páně v Lajnistánu, dá Lajňan jménem Kaluza K. Lajn ušlapávaným obyvatelům Lajnistánu novou naději. Možná díky Božímu vnuknutí, možná jako důsledek vysloveného rozčilení z let, kdy musel strnule civět své sousedce do oka, přijde s nápadem, že Lajnistán nakonec vůbec jednorozměrný být nemusí. Co když je Lajnistán dvojrozměrný, teoretizuje, s druhým rozměrem kruhového tvaru, který odhalení unikal jen pro svou titěrnost? Jde dále a načrtne obraz zcela nového života za předpokladu, že se tato kruhová dimenze rozpíná - což je přinejmenším možné podle nedávné práce jeho kolegy Lajnštajna. Kaluza K. Lajn vypráví o vesmíru, který vás i vaše kamarády ohromuje a plní nadějí - o vesmíru, v němž se Lajňané mohou svobodně pohybovat a vzájemně obcházet zásluhou druhé dimenze. Je konec prostorovému zotročování. Uvědomujeme si, že Kaluza K. Lajn popisuje život v "ztloustlém" hadicovém vesmíru.

Kdyby kruhová dimenze rostla a "nafukovala" Lajnistán do tvaru hadicového vesmíru, váš život by se zásadně proměnil. Vezměme třeba vaše tělo. Cokoliv mezi vašima očima tvoří vnitřek vašeho lajňanského organismu. Vaše oči tedy hrají pro tělo stejnou úlohu, jako pro obyčejného člověka hraje kůže. Jsou hranicí mezi vnitřkem vašeho těla a vnějším světem. Lajnistánský chirurg se k "vnitřnostem" dostane jedině propíchnutím povrchu těla - jinými slovy, operace se zde provádějí skrz oči.

Obrázek 8.5 Lajňan může přímo pozorovat vnitřek těla svého spoluobčana, pokud se Lajnistán nafoukne a stane se hadicovým vesmírem.
Co se ale stane, má-li Lajnistán tajnou svinutou dimenzi (jak učí Kaluza K. Lajn), která se rozpíná do pozorovatelně velkých rozměrů? Lajňan si pak vaše tělo může prohlížet pod nenulovým úhlem a vidět tak do jeho vnitřku, jak ilustruje obrázek 8.5. Prostřednictvím druhé dimenze může doktor provést operaci přímo na nechráněném vnitřku těla. Jak ďábelské! Časem by se Lajňanům jistě vyvinula jistá forma kůže, která by chránila nyní obnažený vnitřek těla před vnějšími vlivy. Nepochybně by se tedy z Lajňanů staly bytosti, které mají délku i šířku: ploštice klouzající se po dvojrozměrném hadicovém vesmíru z obrázku 8.6. Kdyby kruhová dimenze narostla znatelně, podobal by se tento dvojrozměrný vesmír velmi Abbottově Plochosvětu - pomyslné dvojrozměrné říši, kterou Abbott obdařil bohatým kulturním dědictvím, ba i satirickým kastovním systémem, rozdělujícím obyvatele podle geometrického tvaru. Zatímco je těžké si představit jakoukoli zajímavou událost v Lajnistánu - kde na to prostě není dost prostoru -, život na hadici nás zavaluje možnostmi. Přechod od jedné ke dvěma pozorovatelným prostorovým dimenzím je vskutku dramatický.

Obrázek 8.6 Ploché dvojrozměrné bytosti obývající hadicový vesmír.

Proč bychom měli u dvou rozměrů skončit? Dvojrozměrný vesmír samotný může mít svinutý rozměr, a tedy být tajně trojrozměrný. Znázornit to lze opět obrázkem 8.4, jen nesmíme zapomenout na to, že nyní pracujeme opravdu se dvěma velkými rozměry (zatímco když jsme poprvé o obrázku mluvili, měla čtvercová síť reprezentovat tři velké dimenze). Pokud by se i tato další kruhová dimenze nafoukla, dvojrozměrná bytost by náhle zjistila, že je ve zcela novém světě, kde turistika není omezena jen na pohyb levo-pravý a předo-zadní. Lze totiž cestovat i nahoru a dolů, ve směru podél kružnice. Kdyby nakonec kruhový rozměr pořádně narostl, mohlo by jít o náš trojrozměrný vesmír. Dodnes nevíme, zda jsou všechny tři rozměry našeho vesmíru nekonečné, nebo je alespoň jeden z nich svinutý na gigantickou kružnici, delší, než kam dohlédnou naše nejsilnější teleskopy. Kdyby byl kruhový rozměr z obrázku 8.4 dost velký - miliardy světelných let -, obrázek by mohl znázorňovat i náš reálný svět.

Můžeme teď obměnit otázku z minulého odstavce: Proč bychom měli u tří rozměrů skončit? Tím se už dostáváme ke Kaluzově a Kleinově vizi, že by náš trojrozměrný vesmír mohl mít dříve neočekávanou čtvrtou (svinutou) prostorovou dimenzi. Odpovídá-li tato pozoruhodná možnost nebo její zobecnění na případ několika rozměrů (na které se brzy podíváme) skutečnosti a pokud by se malé rozměry mohly nafouknout do makroskopických rozměrů, je z ménědimenzionálních příkladů jasné, že život by se nesmírně změnil.

Dokonce i když rozměry zůstanou malé a svinuté, bude mít jejich existence překvapivě stále hluboké důsledky.

Sjednocení ve více rozměrech

Ačkoli Kaluzův nápad z roku 1919, že vesmír je obdařen více rozměry, než které známe, byl pozoruhodný sám o sobě, šťávu mu dodalo jiné pozorování. Einstein formuloval obecnou relativitu pro obvyklý vesmír se třemi prostorovými a jednou časovou dimenzí. Matematický formalismus a rovnice jeho teorie lze ale poměrně přímo zobecnit i na vesmíry s dodatečnými rozměry. Se "skromným" předpokladem jedné nové dimenze prostoru provedl Kaluza matematický rozbor a explicitně odvodil nové rovnice.

Zjistil, že v přepracované formulaci kopírují rovnice týkající se tří obvyklých rozměrů prakticky rovnice Einsteinovy. Nepřekvapí, že díky přidané dimenzi našel Kaluza ještě další rovnice kromě těch, které znal už Einstein. Kaluza své nové rovnice prozkoumal a objevil něco úžasného. Nové rovnice nebyly ničím jiným než rovnicemi, jimiž v osmdesátých letech 19. století popsal Maxwell elektromagnetickou sílu! Přidáním nové dimenze sjednotil Kaluza Einsteinovu teorii gravitace s Maxwellovou teorií světla.

Před Kaluzovým objevem nahlíželi lidé na elektromagnetismus a gravitaci jako na nesouvisející síly; nic dokonce ani nenaznačovalo, že by mezi nimi mohl být nějaký vztah. Díky své odvaze a tvořivosti si Kaluza dokázal představit, že vesmír má skrytý rozměr, a nalezl tak vztah vskutku hluboký. Jeho teorie hlásala, že gravitace i elektromagnetismus jsou projevem záhybů v struktuře prostoru. Gravitaci způsobují zvlnění v obvyklých třech směrech, zatímco elektromagnetismus je projevem deformací, jichž se účastní nová dimenze. Kaluza svůj rukopis zaslal Einsteinovi. Toho rukopis velmi zaujal. Odepsal Kaluzovi 21. dubna 1919, že ho nikdy nenapadlo, že sjednocení lze dosáhnout přes "pětirozměrný (čtyři prostorové a jeden časový rozměr) válcovitý svět". Dodal, že "na první pohled" se mu tato "myšlenka velmi líbí". 4 Asi po týdnu ale přišel od Einsteina dopis další - a skeptičtější: "Pročetl jsem Váš článek a shledal ho opravdu zajímavým. Nikde nevidím důkaz, že je Váš nápad nemožný. Na druhou stranu musím připustit, že Vámi dosud předložené argumenty se nezdají být dostatečně přesvědčivé." 5 V následujících dvou letech měl ale Einstein dost času Kaluzovy myšlenky vstřebat a 14. října 1921 napsal Kaluzovi znovu: "Přebral jsem si vše v hlavě a lituji toho, že jsem předloni překážel v publikování Vašeho nápadu na sjednocení gravitace a elektromagnetismu. Pokud chcete, Váš článek akademii přece jen představím." 6 Sice s opožděním, ale Kaluza nakonec přece jen souhlasné razítko od mistra získal.

Ačkoli idea byla krásná, následné podrobné rozbory Kaluzova návrhu, obohaceného o Kleinovy příspěvky, v ní nalezly závažné rozpory s experimentálními daty. Nejjednodušší pokusy o začlenění elektronu do teorie předpovídaly vztahy mezi jeho hmotností a nábojem, které se od těch měřených diametrálně lišily. Jelikož nikdo nenalezl očividný způsob, jak tenhle problém obejít, ztratili mnozí fyzici, kteří si Kaluzova nápadu všimli, náhle zájem. Einstein s několika dalšími dále pracoval na možnosti svinutých dimenzí, jejich snažení se však záhy ocitlo na periferii teoretické fyziky.

V jistém smyslu Kaluza opravdu předběhl dobu. Dvacátá léta odstartovala éru sílící teoretické i experimentální aktivity týkající se pochopení základních zákonů mikrosvěta. Teoretici měli plné ruce práce, když hledali a konstruovali strukturu kvantové mechaniky a kvantové teorie pole. Experimentátoři museli změřit podrobné vlastnosti atomů a dalších stavebních bloků hmoty. Teorie vedla experiment a experiment pročišťoval teorii, když fyzici půlstoletí mířili ke standardnímu modelu. Není divu, že se v těchto plodných a opojných dobách musely spekulace o skrytých rozměrech spokojit se sedátky daleko vzadu. Fyzici zkoumali mocné kvantové metody, vedoucí k experimentálně testovatelným předpovědím, a měli pramalý zájem o pouhou možnost, že na velmi krátkých vzdálenostech, nedosažitelných ani nejlepší technikou, by mohl vesmír vypadat zcela jinak.

Dříve nebo později však každý sílící podnik ztratí páru. Na začátku sedmdesátých let už byla struktura standardního modelu objevena. Do začátku osmdesátých let potvrdily experimenty mnoho předpovědí standardního modelu a většina částicových fyziků došla k názoru, že je jen otázkou času, kdy bude potvrzen i zbytek. Byť pár důležitých detailů zůstalo nevyřešeno, mnozí cítili, že nejdůležitější otázky týkající se silné, slabé a elektromagnetické síly byly zodpovězeny.

Dozrála doba, kdy se fyzici mohli vrátit k otázce největší: k záhadnému konfliktu mezi obecnou relativitou a kvantovou mechanikou. Úspěch s formulací kvantové teorie tří ze sil přírody je povzbudil ve snaze připojit i sílu čtvrtou, gravitační. Poté co zkrachovalo mnoho pokusů, otevřela se mysl vědecké komunity více srovnatelně radikálním přístupům. Kaluzova-Kleinova teorie, odsouzená k zapomenutí koncem dvacátých let, byla rehabilitována a vzkříšena.

Kaluzova-Kleinova teorie v moderním hávu

Chápání fyziky se za šedesát let po Kaluzově původním návrhu značně proměnilo a podstatně prohloubilo. Byla kompletně formulována a experimentálně ověřena kvantová mechanika. Byly objeveny a do značné míry pochopeny síly do dvacátých let neznámé, slabá a silná interakce. Někteří fyzici tvrdili, že neúspěch původního Kaluzova nápadu tkvěl v opomíjení těchto sil, tedy v přílišné konzervativnosti v jeho náhledu na prostor. Více sil znamenalo potřebu ještě více dimenzí. Mnozí vysvětlovali, že jediná dodatečná kruhová dimenze sice ukázala náznak spojení mezi obecnou relativitou a elektromagnetismem, nebyla však dostatečná.

Obrázek 8.7 Dvě dodatečné dimenze svinuté do tvaru sféry.
V polovině sedmdesátých let se úsilí soustředilo na výzkum vícerozměrných teorií s několika svinutými rozměry. Obrázek 8.7 ilustruje příklad se dvěma dodatečnými rozměry svinutými na povrch míčku - tedy na kulovou plochu (sféru). Stejně jako v případě jediné kruhové dimenze musíme přebytečné rozměry "přišpendlit" ke každému bodu obvyklého trojrozměrného prostoru. (V zájmu názornosti jsme sféry opět zakreslili jen do průsečíků v čtvercové síti.) Nemusíme měnit jen počet skrytých dimenzí, ale i jejich tvar. Tak třeba obrázek 8.8 ukazuje další možnost se dvěma přebytečnými rozměry, které tentokrát mají tvar věnečku či pneumatiky - tedy toru (anuloidu). Přestože nás rovina papíru omezuje v kreslení, lze si představit i složitější možnosti se třemi, čtyřmi, pěti či libovolně mnoha skrytými rozměry prostoru svinutými do široké palety exotických tvarů. Základním požadavkem zůstává, aby všechny délky těchto dimenzí byly kratší než nejjemnější vzdálenost, kterou dokážeme rozlišit, jinak bychom už svinuté dimenze odhalili.

Obrázek 8.8 Dvě dodatečné dimenze svinuté do tvaru věnečku čili toru (anuloidu).

Nejslibnější z vícerozměrných teorií byly ty, které zahrnovaly supersymetrii. Fyzici doufali, že částečná kompenzace nejkrutějších kvantových fluktuací, která nastává díky párování částic - supersymetrických partnerů -, pomůže změkčit rozpory mezi gravitací a kvantovou mechanikou. Pro teorie zahrnující gravitaci, dodatečné rozměry a supersymetrii se razil název vícerozměrná supergravitace.

Stejně jako Kaluzův původní návrh, i různé odrůdy vícerozměrné supergravitace zprvu vyhlížely velmi slibně. Nové rovnice pocházející ze svinutých rozměrů nápadně připomínaly rovnice elektromagnetické, slabé a silné interakce. Bližší pohled ale ukázal, že staré otazníky nezmizely. Nejdůležitější ale bylo, že zhoubné kvantové kudrlinky prostoru byly supersymetrií zmírněny, ale ne natolik, abychom získali smysluplnou teorii. Fyzici navíc shledali, že je obtížné nalézt jedinou a rozumnou vícerozměrnou teorii popisující všechny rysy hmoty a sil. 7

Postupně se vyjasňovalo, že kousky sjednocené teorie vyplouvají na povrch, ale že lidem chybí jakýsi podstatný klíč, který je všechny spojí dohromady kvantověmechanicky konzistentním způsobem. V roce 1984 tento klíč - teorie strun - dramaticky vstoupil na jeviště a zaujal místo hlavního herce.

Více rozměrů a teorie strun

V tomto místě už byste měli být přesvědčeni, že náš vesmír dodatečné rozměry mít může; pokud jsou dostatečně malé, nic je rozhodně nevylučuje. Přidání rozměrů vám nicméně může připadat vykonstruované. Naše neschopnost zkoumat vzdálenosti kratší než miliardtina miliardtiny metru připouští nejen dodatečné rozměry, ale i dlouhou řadu ještě výstřednějších možností - mikroskopickou civilizaci zelených pidimužíčků nevyjímaje. Zatímco se přidané rozměry jistě zdají být rozumově zdůvodnitelnější než mužíčci, postulování obou těchto experimentálně neověřených - a v současnosti neověřitelných - možností zavání stejnou libovůlí.

Tak tomu bylo před zrodem teorie strun. Teorie, která řeší ústřední paradox současné fyziky - neslučitelnost kvantové mechaniky s obecnou relativitou - a která sjednocuje naše chápání všech fundamentálních sil a stavebních kamenů. Aby však tomuto poslání dostála, teorie strun vyžaduje, jak se ukázalo, skryté dimenze vesmíru.

Proč tomu tak je? Jedním z hlavních poznatků kvantové mechaniky je, že naše schopnost předpovídat je omezena na výroky, že ten či onen výsledek nastane s takovou či onakou pravděpodobností. Ačkoli podle Einsteina je tento rys moderní fyziky odpudivý, a pro vás možná také, určitě se zdá, že je to fakt. Přijměme ho. Dále víme, že pravděpodobnosti jsou vždycky čísla mezi nulou a jedničkou - jinými slovy mezi 0 % a 100 %. Fyzici zjistili, že hlavním příznakem nefunkčnosti dané kvantověmechanické teorie jsou "výsledky" mimo tento přijatelný interval. Třeba jsme zmínili, že výrazem ostré neslučitelnosti obecné relativity s kvantovou mechanikou v rámci jazyka bodových částic jsou výpočty vedoucí k nekonečným pravděpodobnostem. A viděli jsme, že teorie strun tato nekonečna odstraňuje. Zatím jsme ale neřekli, že stále zbývá ještě jeden, o něco jemnější problém. V počátcích teorie strun fyzici občas vypočítali záporné pravděpodobnosti, které také přesahují přijatelný interval. Zprvu se tedy zdálo, že teorie strun utonula ve své vlastní horké kvantověmechanické lázni.

S tvrdošíjnou odhodlaností fyzici hledali a nakonec našli původ této nepřijatelné vlastnosti. Vysvětlení začíná jednoduchým pozorováním. Přinutíme-li strunu žít na dvojrozměrném povrchu - třeba na stole nebo v hadicovém vesmíru -, počet nezávislých směrů, v nichž může vibrovat, je omezen na dva: zleva doprava a zpředu dozadu podél povrchu. Každý vibrační vzorek je jakousi kombinací kmitů v těchto dvou směrech. To také znamená, že struna v Plochosvětě, v hadicovém vesmíru nebo v jakémkoli jiném dvojrozměrném vesmíru je donucena kmitat celkem ve dvou nezávislých rozměrech prostoru. Jestliže však struně dovolíme se od povrchu odlepit, vzroste počet nezávislých směrů vibrace na tři, protože struna pak může oscilovat i nahoru a dolů. Jinak řečeno, v trojrozměrném vesmíru může struna vibrovat ve třech nezávislých směrech. Pravidlo platí i dále, třebaže se stále hůře znázorňuje - ve vesmíru s více rozměry může totiž struna vibrovat ve více nezávislých směrech.

Tento fakt o vibracích struny zdůrazňujeme proto, že fyzici zjistili, že znepokojující výpočty jsou velmi citlivé na počet nezávislých směrů, v nichž struna může kmitat. Záporné pravděpodobnosti pramenily z nerovnosti počtu rozměrů, které teorie vyžaduje, a počtu, který zdánlivě nařizovala realita; výpočty ukázaly, že pokud mohou struny vibrovat v devíti rozměrech prostoru, všechny záporné pravděpodobnosti zmizí. Teoreticky to zní dobře, ale co s tím? Má-li teorie strun popsat náš reálný trojrozměrný svět, vypadá to, že jsme se problému nezbavili.

Opravdu jsme ho nevyřešili? Vrátíme-li se o více než padesát let zpět, zjistíme, že Kaluza s Kleinem východisko nabídli. Jelikož jsou struny tak malé, mohou vibrovat nejen v dlouhých dimenzích prostoru, ale i v dimenzích krátkých a svinutých. Proto lze požadavek teorie strun na devět rozměrů prostoru uspokojit v našem vesmíru, pokud po vzoru Kaluzy a Kleina předpokládáme existenci šesti svinutých rozměrů vedle tří velkých rozměrů, které známe. A teorie strun, která se zdála být na pokraji vyloučení ze sféry zájmu fyziky, je zachráněna. Navíc místo postulování existence dodatečných rozměrů, k čemuž byli odsouzeni Kaluza s Kleinem i jejich následníci, teorie strun je vyžaduje. Aby měla teorie strun smysl, musí mít vesmír devět prostorových rozměrů a jeden časový, dohromady tedy deset dimenzí. Kaluzův nápad z roku 1919 tak nachází nejpřesvědčivějšího a nejmocnějšího spojence.

Pár otázek

Vnucuje se nám řada otázek. Za prvé. Proč teorie strun, aby se vyhnula nesmyslným záporným pravděpodobnostem, požaduje právě devět rozměrů prostoru? Chceme-li na tuto otázku odpovědět bez matematických výpočtů, je to asi nejobtížnější otázka teorie strun. Přímočarý výpočet v teorii strun k tomuto výsledku vede, nikdo ale nemá intuitivní a nematematické vysvětlení, proč vyjde právě toto číslo. Fyzik Ernest Rutherford jednou pravil, že pokud nedokážete nějaký výsledek vysvětlit jednoduše a bez technického jazyka, tak aby mu porozuměla i barmanka, potom mu pořádně nerozumíte. Nechtěl říct, že je tvrzení špatně; spíše mínil, že nerozumíte jeho původu, významu a důsledkům. Snad to platí i o vícerozměrné povaze teorie strun. (Využijme této příležitosti k vsuvce o klíčovém aspektu druhé superstrunové revoluce, o němž bude řeč v 12. kapitole. Výpočet vedoucí k počtu deseti dimenzí časoprostoru - devíti prostorovým a jedné časové - stojí na aproximacích. V polovině devadesátých let poskytl Edward Witten na základě poznatků svých a předchozí práce Michaela Duffa z Texaské A&M univerzity a Chrise Hulla a Paula Townsenda z univerzity v Cambridgi přesvědčivé důkazy pro tvrzení, že přibližný výpočet ve skutečnosti jeden rozměr přehlíží. Teorie strun, hlásal k úžasu většiny teoretiků strun, ve skutečnosti požaduje deset prostorových rozměrů a jeden časový, celkem tedy jedenáct dimenzí. Až do 12. kapitoly budeme tento důležitý poznatek ignorovat, protože nemá na následující výklad zásadní vliv.)

Za druhé. Pokud z rovnic teorie strun (přesněji z jejich aproximací, provázejících nás před 12. kapitolou) vyplývá, že vesmír má devět prostorových rozměrů a jeden časový, proč je právě šest z nich svinuto, zatímco tři prostorové rozměry a jeden časový ne? Proč nejsou všechny svinuté, všechny velké nebo proč se nerealizuje jakákoli jiná možnost uprostřed? Nikdo dnes nezná odpověď. Odpovídá-li teorie strun skutečnosti, měli bychom nakonec být schopni odpověď odvodit, naše dnešní chápání teorie však k dosažení této mety nestačí. To neznamená, že by se chrabří fyzici o její zodpovědění nepokoušeli. Například v kosmologickém pohledu si lze představit, že všechny dimenze začínají jako svinuté, ale při explozi na způsob velkého třesku se tři prostorové rozměry a jeden časový nafouknou do jejich dnešní velikosti, zatímco zbylých šest zůstává svinuto. Fyzici se pokoušeli zdůvodnit, proč jsou právě čtyři rozměry časoprostoru velké, jak uvidíme v 14. kapitole, ale je poctivé předeslat, že všechna tato vysvětlení jsou ve fázi zrodu. V dalším textu budeme předpokládat, že kromě tří jsou všechny prostorové dimenze svinuty, v souladu s naším pozorováním okolního světa. Jedním z cílů moderního výzkumu je odvodit tento předpoklad z teorie samotné.

Za třetí. Umožňuje požadavek dodatečných rozměrů přidat dimenze časové místo prostorových? Když se nad tím zamyslíte, pochopíte, že je to myšlenka opravdu podivná. Všichni jaksi fyzicky pociťujeme, že vesmír může mít více rozměrů prostoru, vždyť žijeme v "pluralitním" světě, kde se neustále setkáváme se třemi rozměry. Ale co by znamenalo mít několik časů? Seřazovali bychom psychologicky zážitky podle jednoho z nich, zatímco ostatní časy by byly "jiné"?

Jestliže časovou dimenzi svineme, věci se stanou ještě podivnějšími. Pokud mraveneček pochoduje po kruhové prostorové dimenzi, vrátí se po každém cyklu na stejné místo. V tom nic záhadného nespatřujeme, protože jsme zvyklí, že se můžeme na stejné místo vrátit tak často, jak se nám zlíbí. Má-li ale kruhová dimenze časový charakter, obejít ji znamená vrátit se po určité době do okamžiku v minulosti. S tím pochopitelně žádné zkušenosti nemáme. V čase, jak ho známe, se můžeme pohybovat naprosto nevyhnutelně jen v jednom směru a cesta do minulosti je nám zapovězena. Svinuté dimenze samozřejmě mohou mít velmi odlišné vlastnosti než obvyklý makroskopický čas, který ubíhá od zrodu vesmíru až po dnešek. Ve srovnání s prostorovými rozměry by ale nové časové dimenze jistě vyžadovaly ještě monumentálnější přestavbu naší intuice. Někteří teoretici možnost dodatečných časových dimenzí v teorii strun zkoumali, ale jejich dosavadní výsledky zatím nejsou přesvědčivé. V našem povídání o teorii strun budeme lpět na "konvenčním" přístupu, v němž mají všechny svinuté dimenze prostorový charakter, ale přitažlivá možnost nových časových dimenzí by mohla v budoucím vývoji fyziky jistou úlohu sehrát.

Fyzikální důsledky dodatečných rozměrů

Léta bádání, odstartovaná Kaluzovým článkem, ukázala, že byť musí být dodatečné rozměry dost malé (vždyť jsme je ještě svými přístroji "neviděli"), ovlivňují námi pozorované fyzikální jevy nepřímo. V teorii strun je spojení mezi mikroskopickými vlastnostmi prostoru a pozorovanou fyzikou obzvláště zřetelné.

Abychom to pochopili, připomeňme, že hmotnosti a náboje částic odrážejí podle strunové teorie možné rezonance v kmitání strun. Představte si tenkou a drobnou strunu, jak se pohybuje a osciluje, a bude vám jasné, jak její rezonance ovlivňuje okolí. Přirovnejme situaci k vlnám na moři. V dalekých končinách otevřeného oceánu mohou izolované vlny vznikat a cestovat různými způsoby poměrně volně. To se podobá vibračním modům struny, která se pohybuje velkými a rozsáhlými rozměry prostoru. Jak jsme říkali v 6. kapitole, taková struna může v každé chvíli svobodně kmitat v libovolném směru. Když však mořská vlna prochází stěsnanějším prostředím, bude detailní tvar jejího vlnivého pohybu jistě záviset například na hloubce vody, umístění a tvaru smáčených skal či třeba kanálů, jimiž voda protéká. Nebo vzpomeňme kupříkladu na varhanní píšťaly či lesní roh. Zvuky těmito nástroji vyluzované přímo souvisejí s charakterem rezonancí vibrujícího vzduchu proudícího vnitřkem nástrojů; jsou ovlivněny přesným tvarem a velikostí prostorových objektů v oblasti nástroje, kde se vzduch chvěje. Svinuté rozměry mají podobný dopad na možné druhy vibrací struny. Jelikož struny mohou vibrovat ve všech prostorových směrech, charakter smotání a vzájemného propletení dodatečných rozměrů silně ovlivňuje a omezuje možné rezonance v kmitání struny. Tyto rezonanční mody, do značné míry dané geometrií svinutých rozměrů, rozhodují o vlastnostech částic pozorovaných v obvyklých velkých dimenzích. To znamená, že geometrie svinutých rozměrů určuje takové základní fyzikální vlastnosti jako hmotnosti a náboje částic, které pozorujeme v trojrozměrném světě každodenního života. To je natolik hluboký a důležitý bod, že ho ještě zopakujeme. Podle teorie strun je svět utkán z tenkých strun, jejichž rezonance při kmitání jsou mikroskopickou podstatou hmotností a nábojů částic. Teorie strun také vyžaduje dodatečné rozměry, které musí být svinuty do malého prostoru, aby jejich existence neprotiřečila faktu, že jsme je zatím nespatřili. Drobná struna ale dokáže "osahat" i drobný prostor. Když se struna pohybuje a osciluje, geometrický tvar dodatečných rozměrů hraje zásadní roli pro určení rezonančních vibračních modů. Poněvadž se vlastnosti strunných vibrací projevují v podobě hmotností a nábojů elementárních částic, docházíme k závěru, že tyto základní vlastnosti vesmíru jsou do značné míry určeny velikostí a geometrickým tvarem dodatečných dimenzí. To je také jeden z nejdalekosáhlejších poznatků teorie strun.

A protože dodatečné dimenze tak hluboce ovlivňují základní vlastnosti vesmíru, měli bychom se nyní - s nasazením všech svých sil - snažit rozlousknout otázku, jak takové svinuté rozměry vypadají.

Jak svinuté dimenze vypadají?

Obrázek 8.9 Jeden z příkladů Calabiho-Yauových prostorů.
Dodatečné rozměry teorie strun nelze "namuchlat" libovolným způsobem; rovnice teorie přísně omezují tvar, který mohou mít. V roce 1984 ukázal Philip Candelas z Texaské univerzity v Austinu, Gary Horowitz a Andrew Strominger z Kalifornské univerzity v Santa Barbaře a Edward Witten, že těmto podmínkám vyhovuje konkrétní množina šestirozměrných tvarů. Na počest dvou matematiků, Eugenia Calabiho z Pennsylvánské univerzity a Shing-Tung Yaua z Harvardovy univerzity, jejichž bádání v příbuzném kontextu, ovšem před teorií strun, sehrálo klíčovou úlohu v chápání těchto prostorů, se jim začalo říkat Calabiho-Yauovy variety (nebo Calabiho-Yauovy tvary či prostory). Ačkoli jsou Calabiho-Yauovy prostory popsány složitou a důvtipnou matematikou, poskytne nám představu o jejich tvaru obrázek. 8

Obrázek 8.9 ukazuje příklad takové Calabiho-Yauovy variety. 9 Při prohlížení obrázku však mějme na paměti jeho omezení. Snažíme se znázornit šestirozměrný tvar na dvojrozměrné ploše papíru, čímž skutečnost značně zkreslujeme. Nicméně z obrázku lze vytěžit hrubou představu, jak Calabiho-Yauovy prostory vypadají. 10 Tvar z obrázku 8.9 je jen jedním z desetitisíců příkladů Calabiho-Yauových variet, které vyhovují přísným podmínkám pro dodatečné rozměry, kladeným teorií strun. Ačkoli členství v kolektivu o desetitisících členů nezní příliš exkluzivně, musíte ho srovnávat s nekonečným množstvím tvarů, které jsou matematicky možné; v tomto ohledu jsou Calabiho-Yauovy variety opravdu vzácností, smetánkou horních deseti tisíc.

Obrázek 8.10 Podle teorie strun má vesmír dodatečné rozměry, svinuté do jednoho z Calabiho-Yauových tvarů.

Abychom vše shrnuli, je třeba si představit, že na obrázku 8.7 nahradíme každou (dvojrozměrnou) sféru (šestirozměrným) Calabiho-Yauovým prostorem. Tedy v každém bodě obvyklého trojrozměrného prostoru existuje podle tvrzení teorie strun šest dosud nepředvídaných rozměrů, pevně svinutých do jednoho ze složitě vyhlížejících tvarů, jak ukazuje obrázek 8.10. Tyto dimenze jsou nedílnou a všudypřítomnou součástí struktury prostoru; existují všude. Když třeba zamáváte, nepohybujete rukou jen ve třech velkých dimenzích, ale také v šesti svinutých. Samozřejmě že vzhledem k jejich titěrné velikosti je vaše ruka nesčíslněkrát obepluje a vrátí se vždy do původního bodu. Jejich miniaturní velikost nedává velkým objektům, jako je vaše ruka, příliš prostoru k pohybu - všechny polohy se zprůměrují -, a tak když nakonec připažíte, vůbec si nejste vědomi cesty, kterou jste urazili ve svinutých Calabiho-Yauových rozměrech.

To je ohromující rys teorie strun. Pokud jste prakticky založeni, asi byste teď chtěli diskusi vrátit k nějakému podstatnému a konkrétnímu tématu. Když teď máme lepší představu, jak takové svinuté dimenze vypadají, jaké jsou tedy fyzikální vlastnosti zakódované ve vibrujících strunách jimi se pohybujících a jak tyto vlastnosti srovnat s experimentálními pozorováními? Jak by řekl divák televizní soutěže Chcete být milionářem?, tohle je otázka z teorie strun za 640 000 korun.

Poznámky z konce knihy ke kapitole 8